Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -2（n∈N * ），在数列{b n }中，b 1 =1

Answer 1

（1）由S _n=2a _n-2得：S _n-1=2a _n-1-2（n≥2），

两式相减得：a _n=2a _n-2a _n-1，即

a n

a n-1 =2（n≥2），

又a ₁=2a ₁-2，

∴a ₁=2，

∴数列{a _n}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴a _n=2 ⁿ．

∵点P（b _n，b _n+1）在直线x-y+2=0上，

∴b _n+1-b _n=2，

∴数列{b _n}是等差数列，

∵b ₁=1，

∴b _n=2n-1；

（2）T _n=1×2+3×2 ²+5×2 ³+…+（2n-3）×2 ^n-1+（2n-1）×2 ⁿ①

∴2T _n=1×2 ²+3×2 ³+…+（2n-3）×2 ⁿ+（2n-1）×2 ⁿ⁺¹②

①-②得：-T _n=1×2+2（2 ²+2 ³+…+2 ⁿ）-（2n-1）×2 ⁿ⁺¹

=2+2×

4(1- 2 n-1 )

1-2 -（2n-1）×2 ⁿ⁺¹

=2+2×2 ⁿ⁺¹-8-（2n-1）×2 ⁿ⁺¹

=（3-2n）2 ⁿ⁺¹-6，

∴T _n=（2n-3）2 ⁿ⁺¹+6．