解题思路：（1）求导函数，利用由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴，可得：g′（1）=0，即可求a的值；
（2）确定函数的单调性，即可求函数g（x）的极小值；
（3）表示出直线的斜率，再构造函数，研究函数的单调性，即可证明结论．
（1）依题意得g（x）=lnx+ax2-3x，则g′(x)＝
1/x+2ax−3．
由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴得：g′（1）=1+2a-3=0
∴a=1；
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞）．
由（1）得g′(x)＝
2x2−3x+1
x＝
(2x−1)(x−1)
x]
令g′（x）=0得x=[1/2]或x=1．
∴函数故（x）在（0，[1/2]），（1，+∞）上单调递增，在（[1/2]，1）单调递减．
故函数g（x）的极小值为g（1）=-2；
（3）证明：依题意得k＝
y2−y1
x2−x1=
lnx2−lnx1
x2−x1，
∴lnx2-kx2=lnx1-kx1，
令h（x）=lnx-kx，则h′（x）=[1/x−k，
由h′（x）=0得x＝
1
k]，当x＞[1/k]时，h′（x）＜0，当0＜x＜[1/k]时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，[1/k]）单调递增，在（[1/k]，+∞）单调递减，
又h（x1）=h（x2），
∴x1＜
1
k＜x2，即
1
x2＜k＜
1
x1．．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件；不等式的证明．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，利用导数确定函数的单调性是关键．