已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.

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  • 解题思路:解法一:设函数为交点式,利用二次函数图象的顶点到x轴的距离2,可得函数解析式;

    解法二:设函数为顶点式,利用函数图象过点(1,0),可得函数解析式.

    解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),

    ∴可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),

    展开,得 y=ax2+2ax-3a,

    顶点的纵坐标为

    −12a2−4a2

    4a=−4a,

    由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,

    ∴|-4a|=2,即a=±

    1

    2.

    所以,二次函数的表达式为y=[1/2x2+x−

    3

    2],或y=-[1/2x2−x+

    3

    2].

    解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),

    ∴对称轴为直线x=-1.

    又顶点到x轴的距离为2,

    ∴顶点的纵坐标为2,或-2.

    于是可设二次函数为y=a(x+1)2+2,或y=a(x+1)2-2,

    由于函数图象过点(1,0),

    ∴0=a(1+1)2+2,或0=a(1+1)2-2.

    ∴a=-[1/2],或a=[1/2].

    所以,所求的二次函数为y=-[1/2](x+1)2+2,或y=[1/2](x+1)2-2.

    点评:

    本题考点: 函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 本题考查函数解析式的求法,解题的关键是正确设出函数的解析式,属于基础题.