Question

已知函数f（x）=1+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+……+(x^2011)/2011,g(x)=1

Answer 1

两式相加,我们容易得到：f(x)+g(x)=2

对于f(x),求导,我们有：

f'(x)=1-x+x^2-x^3.+x^2010

当x=-1时,f'(-1)=2011

当x≠-1时,

f'(x)=(1-(-x)^2011)/(1-(-x))

=(1+x^2011)/(1+x)

x>-1时 f'(x)>0,单调增

x0,

所以 f(x)是单调增函数

因为f(x)+g(x)=2,所以g(x)是单调减函数

同时,我们容易验证

f(0)=1>0

f(-1)=1-1-1/2-...-1/2011