Question

过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1

Answer 1

解题思路：（1）要证数列{a_n}是等比数列，只需利用已知条件证明

a

n

a

n−1

＝

k

k−1

是常数即可，利用通项公式的求法直接求其通项公式；

（2）要证

a

n

≥1+

n

k+1

，先验证n=1然后利用二项式定理，采用放缩法证明即可．

（3）若k=2，记

b

n

＝

n

i＝0

(−1)

i

a

2

n−i

C

i

2n−i+1

，求出b_n=2b_n-1-b_n-2，解得b_n=n+1，然后求b₂₀₁₀．

（1）对y=x^k求导数，得y^/=kx^k-1，切点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．

当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（x-a₁），得a₁=[k/k−1]，

当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），得

an

an−1＝

k

k−1，

所以数列{a_n}是首项a₁=[k/k−1]，公比为[k/k−1]的等比数列，且通项公式为an＝(

k

k−1)n．

（2）当n=1时，a₁=[k/k−1＝1+

1

k−1]，当n≥2时，应用二项式定理，an＝(

k

k−1)n＝(1+

1

k−1)n＝

C0n+

C1n

1

k−1+

C2n(

1

k−1)2++

Cnn(

1

k−1)n≥1+

n

k−1．

（3）a_n=2ⁿ，b_n=

n

i＝0(−1)i22n−2i

Ci2n−i+1，设cn＝

n

i＝0(−1)i22n−2i

Ci2n−1，

则b_n=2²ⁿ+

n

i＝1(−1)i22n−2i(

C

点评：

本题考点： 数列的极限；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题是中档题，考查数列的通项公式的求法，数列的证明，数列的化简与构造法的应用，是本题解题的关键，注意二项式定理的应用．