Question

求微分方程y″+5y′=2x+e-5x的一个特解．

Answer 1

解题思路：首先，将齐次方程的特征根通解求出来；然后将微分方程y″+5y′=2x+e^-5x拆开成微分方程y″+y′=2x和微分方程y″+y′=e^-5x，分别求这两者的特解；再相加即可得到答案．

由于微分方程y″+5y′=2x+e^-5x的特征方程为r²+5r=0，解得特征根为r=0、r=-5

因此y″+5y′=0通解为y＝C1+C2e−5x

又微分方程y″+5y′=2x的f（x）=2x，其f（x）=2x，而λ=0是特征根，

故其特解为y₁=x（ax+b），代入到微分方程y″+5y′=2x，解得a＝

1

5，b＝−

2

25

即y″+5y′=2x的特解为y1＝

1

5x(x−

2

5)

又微分方程y″+5y′=e^-5x的f（x）=e^-5x，λ=-5是特征根

故其特解为y2＝cxe−5x，代入到微分方程y″+5y′=e^-5x，解得：c＝−

1

5

即微分方程y″+5y′=e^-5x的特解为y2＝−

1

5xe−5x

∴微分方程y″+5y′=2x+e^-5x的一个特解为y1+y2＝

1

5x(x−

2

5)−

1

5xe−5x

点评：

本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，是基础知识点．需要注意的是，求特解时，将其拆开成两个微分方程的形式，分别求．