Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：

Answer 1

解题思路：①根据正方形的性质求证△BHE为直角三角形即可得出结论；

②由①求证△CGF∽△BCF．利用其对应边成比例即可求得结论；

③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论，

④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．

①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF，

∴∠BEA=∠CFB，

∵CG∥AE，

∴∠GCB=∠AEB

∴∠CFG=∠GCB，

∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，

∴CG∥AE交BF于点G，

∴△BHE也为直角三角形，

∴tan∠HBE=cot∠HEB；

∴①正确．

②由①可得△CGF∽△BCF，

∴[CG/BC]=[CF/BF]，

∴CG•BF=BC•CF，

∴②正确；

③由①得△BHE≌△CGF，

∴BH=CG，而不是BH=FG

∴③BH=FG错误；

④∵△BCG∽△BCF，

∴[BC/BF]=[BG/BC]，即BC²=BG•BF，

同理CF²=BF•GF，

∴

BC2

CF2=[BG/GF]，

∴④正确，综上所述，正确的有①②④．

故答案是：①②④．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，步骤繁琐，有一定的拔高难度，属于中档题．