Question

关于x的方程x2+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0的两根为α、β且0＜θ＜2π，若数列1，（[1/α]+[1/β]

Answer 1

解题思路：由根与系数关系得到α、β的和与积，求出[1/α]+[1/β]，得到数列数列1，（[1/α]+[1/β]），（[1/α]+[1/β]）²…为等比数列，由等比数列的求和公式求出其前2008项的和，由和为0求得sinθ的值，结合θ的范围得答案．

∵方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0（其中0＜θ＜2π）的两实根为α、β，

∴△=sin²2θ+4sinθ•cotθ≥0，

即sin²θ•cos²θ+cosθ≥0 ①

α+β=-sin2θ，αβ=-sinθ•cotθ=-cosθ，[1/α]+[1/β]=[α+β/αβ]=[−sin2θ/−cosθ＝2sinθ，

显然2sinθ≠1且2sinθ≠0，否则数列1，（

1

α]+[1/β]），（[1/α]+[1/β]）^2…的前2008项和不为0，

∴数列1，（[1/α]+[1/β]），（[1/α]+[1/β]）²…是首项为1，公比为2sinθ的等比数列，

则其前2008项的和为

1−(2sinθ)2008

1−2sinθ=0．

即（2sinθ）²⁰⁰⁸=1，2sinθ=-1，sinθ=−

1

2．

∵0＜θ＜2π，

∴θ＝

7π

6或θ＝

11π

6．

验证θ＝

7π

6或θ＝

11π

6时①成立，

故答案为：[7π/6]或[11π/6]．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查根与系数的关系，具体涉及到三角函数的恒等变换和基本性质，考查了等比数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是中档题．