Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．

Answer 1

（Ⅰ）由题设，方程f （x）=x有等根，即ax ²+（b-1）x=0有等根，

∴△=0⇒b=1．（2分）

又f （2）=0，

∴4a+2b=0，∴a=-

1

2 ．（4分）

故f （x）=-

1

2 x ²+x．（5分）

（Ⅱ）∵f （x）=-

1

2 x ²+x=-

1

2 （x-1） ²+

1

2 ≤

1

2 ，

∴2n≤

1

2 ，即 n≤

1

4 ．（8分）

而当n≤

1

4 时，f （x）在[m，n]上为增函数，

设满足条件的m，n存在，则

f(m)=2m

f(n)=2n 即

-

1

4 m 2 +m=2m

-

1

4 n 2 +n=2n. ，

又m＜n≤

1

4 ，由上可解得 m=-4，n=0．

即符合条件的m，n存在，其值为m=-4，n=0．（13分）