Question

（2014•滨州二模）在已知数列{an}中，a1=9，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n为正

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知条件得

a

n+1

+1＝(

a

n

+1

)

2

，两边取对数，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），由此能证明数列{lg（a_n+1）}是以1为首项，以2为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

lg(a

n

+1)＝

2

n−1

，从而lgT_n=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1），由此求出lgT_n=2ⁿ-1．

（Ⅲ）由C_n=

2

n

(

2

n

−1)(

2

n+1

−1)

=

1

2

n

−1

−

1

2

n+1

−1

，利用裂项求和法能求出数列{C_n}的前n项和．

（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，

∴an+1＝an2+2an，∴an+1+1＝(an+1)2，

对an+1+1＝(an+1)2两边取对数，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），

∵a₁=9，∴lg（a₁+1）=lg10=1，

∴数列{lg（a_n+1）}是以1为首项，以2为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(an+1)＝2n−1，

T_n=（a₁+1）…（a_n+1），

∴lgT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）

=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）

=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1

=

1−2n

1−2=2ⁿ-1．

（Ⅲ）证明：C_n=

lgTn+1

[lg(an+1+1)−1][lg(an+2+1)−1]

=

2n

(2n−1)(2n+1−1)=[1

2n−1−

1

2n+1−1，

S_n=（

1/2−1−

1

22−1]）+（

1

22−1−

1

23−1）+（

1

23−1−

1

24−1）+…+（

1

2n−1−

1

2n+1−1）

=1-

1

2n+1−1＜1．

∴S_n＜1．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．