Question

高二空间几何证明题,正四棱锥S—ABCD中,P、Q、R分别是SC、SB、SD上的点,且,求证：SA‖平面PQR.正四棱锥

Answer 1

连接PQ,延长PQ,CB交于点E；连接PR,延长PR,CD交于点F；

连接AC,BD交于点O,连接EF交AC于点G,连接GP；

过P作PH//SB交BC于H

因为 PH//SB

所以 PH/SB=PC/SC

因为 PC/PS=2

所以 PC/SC=PC/(PC+SC)=2/3

所以 PH/SB=2/3

因为 SQ/BQ=2

所以 BQ/SB=1/3

因为 PH/SB=2/3

所以 BQ/PH=1/2

因为 PH//SB

所以 EB/BH=1,HC/BH=PC/PS=2

所以 EB/BC=1/3

因为 正四棱锥S—ABCD中 三角形SBC全等于三角形SCD,SB=SC=SD

因为 PC/PS=SQ/BQ=SR/DR=2

所以 由对称性可得 FD/DC=1/3

因为 EB/BC=1/3,FD/DC=1/3

所以 DB//EF

所以 OG/OC=EB/BC=1/3

因为 正四棱锥S—ABCD中 OC=OA

所以 OG/OA=1/3

所以 AG/GO=2

因为 OG/OC=1/3

所以 GC/AG=(3+1)/2=2

因为 PC/PS=2

所以 SA//PG

因为 PG在平面PQR内

所以 SA//平面PQR