Question

已知函数f（x）=ex+ax2+bx．

Answer 1

解题思路：（I）当a=0，b=-1时，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间．

（II）利用导数的运算法则可得f′（x）=e^x+2ax+b，利用导数的几何意义可得：函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线l的斜率k=f′（t）=e^t+2at+b，

即可得到切线l的方程为y-（e^t+at²+bt）=（e^t+2at+b）（x-t）．令x=0，得y=（1-t）e^t-at²（0＜t＜1）．当0＜t＜1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1，只需（1-t）e^t-at²＜1，即（t-1）e^t+at²+1＞0（0＜t＜1）．

令g（t）=（t-1）e^t+at²+1，利用导数通过分类讨论即可得到其单调性．

（Ⅰ）当a=0，b=-1时，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，

∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；

∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．

（Ⅱ）∵f′（x）=e^x+2ax+b，

∴函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线l的斜率k=f′（t）=e^t+2at+b，

∴切线l的方程为y-（e^t+at²+bt）=（e^t+2at+b）（x-t），

令x=0，得y=（1-t）e^t-at²（0＜t＜1）．

当0＜t＜1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1，

只需（1-t）e^t-at²＜1，即（t-1）e^t+at²+1＞0（0＜t＜1）．

令g（t）=（t-1）e^t+at²+1，

则g′（t）=t（e^t+2a），

∵0＜t＜1，∴1＜e^t＜e，

①若2a≥-1即a≥−

1

2时，e^t+2a＞0，

∴当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，即g（t）在（0，1）上单调递增，

∴g（t）＞g（0）=0恒成立，∴a≥−

1

2满足题意．

②若2a≤-e，即a≤−

e

2时，e^t+2a＜0．

∴当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上单调递减．

∴g（t）＜g（0），∴a≤−

e

2时不满足条件．

③若-e＜2a＜-1，即−

e

2＜a＜−

1

2时，0＜ln（-2a）＜1．列表如下：

t （0，ln（-2a）） ln（-2a） （ln（-2a），1）

g′（t） - 0 +

g（t） 单调递减 极小值 单调递增∴g（ln（-2a））＜g（0）=0，∴−

e

2＜a＜−

1

2不满足题意．

综上①②③可得：当a≥−

1

2时，g（t）＞0，0＜t＜1．此时点Q的纵坐标恒小于1．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．