Question

已知函数f（x）=lnx+ 1-x ax ，其中a为大于零的常数．

Answer 1

f′（x）=

ax-1

ax2 （x＞0）…（2分）

（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a=

1

x 在（1，+∞）上有解，

又∵当x∈（1，+∞）时，

1

x ＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分）

（2）①当a≥

1

e 时，因为f′（x）＞0在（e，e ²）上恒成立，这时f（x）在[e，e ²]上为增函数，

所以当x=e时，f（x） _min=f（e）=1+

1-e

ae …（8分）

②当0＜a≤

1

e2 时，因为f′（x）＜0在（e，e ²）上恒成立，这时f（x）在[e，e ²]上为减函数，

所以，当x=e ²时，f（x） _min=f（e ²）=2+

1-e2

ae2 ，…（10分）

③当

1

e2 ＜a＜

1

e 时，令f′（x）=0得，x=

1

a ∈（e，e ²），

又因为对于x∈（e，

1

a ）有f′（x）＜0，

对于x∈（

1

a ，e ²）有f′（x）＞0，

所以当x=

1

a 时，f（x） _min=f（

1

a ）=ln

1

a +1-

1

a …（14分）

综上，f（x）在[e，e ²]上的最小值为

f（x） _min=

1+

1-e

ae ，当a≥

1

e 时

ln

1

a +1-

1

a ，当

1

e2 ＜a＜

1

e 时

2+

1-e2

ae2 ，当0＜a＜

1

e2 时 …（16分）