1,连接OA,OB
∵C为弧AB的中点且CO为圆O的直径
∴OC平分且垂直弦AB交于点E
∵AB=10所以AE=5
设圆0的半径为x则OE的长为x-2
在直角三角形OAE中由勾股定理得：X²=5²+（X-2）²
解得 ：X=4分之29即 圆0的半径为4分之29
2,连接OA,OB
在等腰ΔABC中因为∠BAC=120°∴∠ACB=30°
∴∠AOB=60（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
∵OB=OC∴OA⊥BC且平分BC交于点H
∵BC=10∴BH=5
∵∠HOB=60°∠OHB=90°∴∠OBH=30°
∴OH=2分之1OB
设OH为x则OB=2x由勾股定理得：(2x)²=x²+5²解得：X=3分之5倍根号3
即圆的直径为3分之10倍的根号3
3,连接AC,BC CD于AB交点为K
∵C为AE的中点
∴弧AC=弧AE
∴∠CAE=∠CBA又∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠DCB=90°
又CD⊥AB∴ΔCKB为直角三角形
∠KCB+∠CBA=90°
∴∠CBA=∠ACK
又∵∠CBA=∠CAE
∴∠CAE=∠ACK
∴ΔAFC为等腰三角形,即AF=CF
4,连接OC 因为 OC=OB
∴ΔOBC为等腰三角形,即OE垂直平分BC
∵AB为直径 ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）
由勾股定理得：AB²=AC²+BC²
即,由此可计算得出 BC=8
∴BH=4 OB=5
∵OH⊥BC ∴ΔOHB为直角三角形
又 勾股定理得：OB²=OH²+BH²
得出 OH=3
Y又∴OE=OB 为半径 所以OE=5
因为 HE=OE-OH=5-3=2
所以 HE=2