罗巴切夫斯基几何（双曲几何）是非欧几何的一种,它在天体理论有着广泛的应用：
在这里,我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理,我们还要提 到一个人,那就是伟大的Riemann,正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry）,然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 （Riemannian Geometry,分清楚与Riemann Geometry的区别,它们形式上差别是 “ian”,实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别）,推广了Gauss 的曲面内蕴几何学,定义了抽象Riemann度量,仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究,使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究.著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量,它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入,Poincare度量就是Riemann度量的一种.正如Milnor的所言,双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已.Riemann让这个躯干成为正常人体.Riemanan之后,Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何,Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何,而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何.容易证明,单位圆和上半平面存在共形映射,而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界,也一一对应.在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric）,就可以计算出它的截面曲率为-1,证明双曲几何的空间曲 率小于零.正如我们所知道的,双曲几何从Poincare去世后发展至今,最牛的人 物是Thurston,Fields奖获得者.此外,这个学科的发展很缓慢,足见其艰难,也足见Poincare之伟大.大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话,曲率半径应 该为多少,他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何,其主要实例就是球面空间和伪球面空间.我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子,我们会感到惊讶.如果有这种可能,你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实,我们也无法知道.” 他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限,认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年.我们当然知道,在1900年的时候,天文测距技术还是不完善的,实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的,甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时,由于造父变星光度的分析有错误,使得宇宙的观测也相应出现严重失误.因此,在Schwarzschild那个时代,对宇宙有着如此的梦幻与计算,实在是非常了不起的.他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了.说个题外话,现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的,因为三维空间Ricci曲率如果为零,则Riemann截面曲率就为零,而四维空间没有这个性质.但是在Schwarzschild那时,他肯定无法考虑到这个,所以如果 他牛到直接考虑四维时空,也照样提刀上阵：） 我们也知道,Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现,他说：“同时,不能不重视Laplace的见我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分,就像微弱的、若隐若现的斑点,类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样.于是,且不说在想象中空间可以无限地延伸,自然界本身向我们显示的距离,甚至同我们的地球到恒星的距离相比,后者也因微小而可以忽略.此外,不能进而断言,假定直线的度量不依赖于角——这一假设,许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前,就会发现它有可以觉察到的错误.” 英国的Clifford实际上也设想过这个问题,但是到了Schwarzschild时,这个梦想被继续深化了.这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论,Schwarzschild就给出第一个精确解,人家早就是老手了,学起这些新的几何学也 时易如反掌,再加上解偏微分方程的特殊能力,使得Einstein对这个结果赞赏不已,比起6年后对待的Friedman,可谓无比真诚了.