Question

已知：以点C（t，[2/t]）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当t=2时，圆心为C（2，1），即可得出圆C的方程；

（Ⅱ）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可；

（Ⅲ）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，K_MN=-2，由直线OC的斜率k=

2

t

t

＝

1

2

，求得t的值，可得所求的圆C的方程．

（Ⅰ）当t=2时，圆心为C（2，1），

∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5；

（Ⅱ）证明：由题设知，圆C的方程为（x-t）²+（y-[2/t]）²=t²+[4

t2，

化简得x²-2tx+y²-

4/t]y=0．

当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；

当x=0时，y=0或[4/t]，则B（0，[4/t]），

∴S_△AOB=[1/2]OA•OB=[1/2]|2t|•|[4/t]|=4为定值．

（Ⅲ）∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，K_MN=-2，则直线OC的斜率k=

2

t

t＝

1

2，

∴t=2或t=-2．

∴圆心为C（2，1）或C（-2，-1），

∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5．

由于当圆方程为（x+2）²+（y+1）²=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，

此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴所求的圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，是中档题．