Question

（2014•包头二模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．

Answer 1

解题思路：（1）由题意知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面为矩形，DC=DC₁，CD⊥DC₁，由此能证明CD⊥B₁C₁．

（2）以C为原点，CA为x轴，设AA₁=2AC=2BC=2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DB₁-C的余弦值．

（1）证明：由题意知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面为矩形，

∵D是AA₁的中点，∴DC=DC₁，

又AA₁=2A₁C₁，∴DC12+DC2＝CC12，

∴CD⊥DC₁，

而CD⊥B₁D，B₁D∩C₁D=D，

∴CD⊥平面B₁C₁D，

∵B₁C₁⊂平面B₁C₁D，∴CD⊥B₁C₁．

（2）由（1）知B₁C₁⊥CD，且B₁C₁⊥C₁C，

∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，

∴CA，CB，CC₁两两垂直，

以C为原点，CA为x轴，设AA₁=2AC=2BC=2，

建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B₁（0，1，2），C（0，0，0），D（1，0，1），

∴

AD=（0，0，1），

B1D=（1，-1，-1），

DC=（-1，0，-1），

设平面ADB₁的法向量

n＝(x，y，z)，

则

n•

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．