Question

lim n趋向于无穷(1+e^n+派^n)^1/n,已经知道是用夹逼准则,请问怎么用

Answer 1

这个极限可以直接求,先进行如下变换:

(1+e^n+pi^n)^(1/n) = e^(ln((1+e^n+pi^n)^(1/n)))

= e^((1/n)*ln((1+e^n+pi^n))

然后,求下面极限:

lim_(n->+infty) (1/n)*ln((1+e^n+pi^n)

= lim_(n->+infty) (e^n+pi^n*ln(pi))/(1+e^n+pi^n) (L'Hostipal法则)

= ln(pi) (分式上下同除pi^n)

由于f(x)=e^x在实数上连续,我们得到:

lim_(n->+infty) e^((1/n)*ln((1+e^n+pi^n))

= e^(lim_(n->+infty) (1/n)*ln((1+e^n+pi^n))

= e^(ln(pi))

= pi

注:+infty表示正无穷,pi表示圆周率