Question

设f(x)=(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^n,f(x)中x^2的系数为Tn,则limTn/(n^3+2

Answer 1

根据二项式定理,

(1+x)^n中x^2的系数为C(n,2)=n (n≥2)

故f(x)中x^2的系数为

Tn=C(2,2)+C(3,2)+...+C(n,2)

=2*1/2+3*2/2+...+n(n-1)/2

=(2*1+3*2+...+n(n-1))/2

=[2^2-2+3^2-3+...+n^2-n]/2

=[2^2+3^2+...+n^2-(2+3+...+n)]/2

=[1^2+2^2+3^2+...+n^2-(1+2+3+...+n)]/2

=[n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2]/2

容易看出其中n^3的系数为2/6/2=1/6,

因此

lim(n->∞) Tn/(n^3+2n)

=(1/6) / 1

=1/6

选B!