是否存在满足下列条件的抛物线?存在求出方程不存在请证明

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  • 修改为:是否存在满足下列条件的抛物线?存在求出方程不存在请证明.以y轴为准线,顶点在x轴上,点A(3,0)到此抛物线上的动点P的(距离的)最小值为2.

    另一题:问题补充:

    在△ABC中,已知A(0,a),B(0,-a)(a为不等于零的常数)AC,BC两边所在的直线分别与X轴交与原点同侧的点M,N.设C(x0,y0)

    1.求m,n两点坐标(用x0,y0,a表示)

    2.若M,N满足|OM|*||ON|=4a^2,求C的轨迹方程

    3.如果存在直线l:y=kx-1(k≠0),使l与点c的轨迹交与不同的P,Q两点,且|AP|=|AQ|,求a的取值范围

    以y轴为准线,顶点在x轴上的抛物线,设其焦参数为 p(p>0),

    则顶点C(±p/2,0),焦点F(±p,0),

    情况一:取“-”号时,显然,点A(3,0)到此抛物线上的动点P的距离的最小值为|AC|,|AC|=3-(-p/2)=3+p/2,因为p>0,所以|AC|>3,最小值不可能等于2;

    情况二:取“+”号时,设P(x,y),d=|AP|,D=d²=(x-3)²+(y-0)²,此时抛物线方程为y²=2p(x-p/2),代入上式得,D=(x-3)²+2p(x-p/2),即D=(x-3+p)²+6p-2p²,当x=3-p时,取得最小值6p-2p²,因为d的最小值为2,所以6p-2p²=2²,p=1 or 2,

    所以满足条件的抛物线存在,且有两条,方程分别为 y²=2x-1,y²=4x-2.

    另一题:

    设M(m,0),N(n,0),不妨设C在y轴右侧,m>0,n>0,已知A(0,a),B(0,-a),C(x0,y0)

    由A,C,M三点共线,(0-a)/(m-0)=(y0-a)/(x0-0),m=ax0/(a-y0),

    即M(ax0/(a-y0),0);

    由B,N,C三点共线,(0+a)/(n-0)=(y0+a)/(x0-0),n=ax0/(a+y0),

    即N(ax0/(a+y0),0);

    M,N满足|OM|*||ON|=4a^2,即[ax0/(a-y0)][ax0/(a+y0)]=4a²,

    即x0²/(2a)²+y0²/a²=1,

    所以C的轨迹方程为椭圆x²+4y²=4a²,

    长半轴2a,短半轴a,焦点在x轴,中心在原点.

    设P(p,kp-1),Q(q,kq-1),

    已知|AP|=|AQ|,所以p²+(kp-1-a)²=q²+(kq-1-a)²,

    解得 a=(p+q)(1+k²)/(2k)-1……(1)

    P,Q在椭圆x²+4y²=4a²上,

    所以p²+4(kp-1)²=q²+4(kq-1)²[=4a²],

    解得p+q=8k/(1+4k²)……(2)

    (2)代入(1)得a=3/(1+4k²),而k²∈(0,+∞),所以a∈(0,3)