解题思路：（1）根据求导公式和法则求出函数的导数，再由二次函数是偶函数的条件求出a的值；
（2）把x=1代入切线方程求出f（1），再把此点代入曲线方程及把x=1代入导函数列方程组求a和b，求出临界点和单调区间，再求出极值和端点处的函数值，进行比较得最大值；
（3）将条件转化为“函数f'（x）在（-1，1）存在零点”，求出f'（x）=0的根，再结合区间长度判断出：f'（x）在（-1，1）只有一个零点，列出列出不等式进行求解．
（1）由题意得，f'（x）=x2-2ax+a2-1，
∵f'（x）是偶函数，∴-2a=0，解得a=0，
（2）由题意知（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2，
又∵（1，2）在y=f（x）上，∴2＝
1
3−a+a2−1+b ①，
由f'（1）=-1，得1-2a+a2-1=-1 ②
由①②，解得a＝1，b＝
8
3]，
∴f(x)＝
1
3x3−x2+
8
3，f′(x)＝x2−2x，
由f'（x）=0得x=0或x=2，
当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0；当0＜x＜2时，f'（x）＜0；
∴函数y=f（x）的减区间为（0，2），增区间为（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0或x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)＝
8
3，f(2)＝
4
3，f(−2)＝−4，f(4)＝8，
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（3）∵函数f（x）在区间（-1，1）不单调，∴以函数f'（x）在（-1，1）存在零点．
由f'（x）=0得，x2-2ax+a2-1=0，解得x=a-1或x=a+1，则区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点，即f'（x）在（-1，1）只有一个零点．
则f'（-1）f'（1）＜0，即a2（a+2）（a-2）＜0，
∵a2＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，解得-2＜a＜2．
又由a≠0，a的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了导数的综合应用：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值问题，以及函数零点等，考查了转化思想和分析、解决问题的能力．