Question

设数列{a n }的前n项的和为S n ，满足S n +a n =n+3（n∈N * ）．

Answer 1

（1）证明：S _n+a _n=n+3①；S _n-1+a _n-1=n+2 ②

①式与②式相减，得 2a _n-a _n-1=1，经过变形，得

a n -1

a n-1 -1 =

1

2 ，

显然存在常数c=-1，使得数列{a _n-1}是等比数列，且公比q=

1

2

（2）当n=1，有s ₁+a ₁=2a ₁=1+3，可得a ₁=2，

由{a _n-1}是等比数列，公比q=0.5，当n＞1时，可知a _n-1=（a ₁-1）q ^n-1化简，得a _n=0.5 ^n-1+1

s _n=n+3-an=n+2-q^（n-1）=n+2-0.5 ^n-1
（3）证明：T _n+1=S _n+1-（n+1）×a _n+1=s _n-na _n+1由T _n=S _n-na _n，两式相减，得T _n+1-T _n=n[a _n-a _n+1]③

由于n为N正，n＞0，当n=1时，a _n=2，a _n+1=1，a _n-a _n+1＞0，故③式右边大于0，故T _n+1＞T _n．

当n＞1时，由前面得a _n-a _n+1=0.5a _n＞0，故③式右边大于0，故T _n+1＞T _n．

得证