Question

已知点P（3,4）是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,若PF1垂直

Answer 1

1,F1(-c,0),F2(c,0),那么向量F1P=(c+3,4),向量F2P=(3-c,4)

而PF1⊥PF2,所以向量F1P*向量F2P=(c+3)(3-c)+4×4=25-c²=0,所以c²=25,c=5

而点P(3,4)在椭圆上,所以9/a²+16/b²=1,又a²-b²=c²=25

解得：a²=45,b²=20,所以椭圆方程为：x²/45+y²/20=1

2,F1(-5,0),F2=(5,0),那么|PF1|=√[(-5-3)²+(0-4)²]=4√5,|PF2|=√[(5-3)²+(0-4)²]=2√5

所以S△PF1F2=1/2×|PF1|×|PF2|=1/2×4√5×2√5=20