Question

已知抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数解析式得，二次项的系数不为零、判别式大于零，求出实数m的范围；

（2）由韦达定理求出两根之和、两根之积，再求出

1

x

1

+

1

x

2

的值，根据完全平方和公式得出

1

x

1

2

+

1

x

2

2

的值，再由题意列出不等式，求出m的范围；

（3）先求出C点的纵坐标，再把面积公式用（2）的两根之差表示出来，再由x₁-x₂与x₁+x₂、x₁x₂之间关系，列出关于m的不等式，求出m的范围．

（1）由题意知，有

m−1≠0

△＝(m−2)2+4(m−1)＞0，解得m²＞0且m≠1，

∴m的取值范围为{m|m≠0且m≠1}．

（2）在（1）的条件下，设（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根为x₁、x₂，

∴x₁+x₂=[m−2/1−m]，x₁x₂=[1/1−m]，∴[1

x1+

1

x2=

x1+x2

x1x2=m-2

∴

1

x12+

1

x22=(

1

x1+

1

x2)2-

2

x1x2=（m-2）²+2（m-1）≤2，即m²-2m≤0，

解得，0≤m≤2，

∴m的取值范围为{m|0＜m＜1或1＜m≤2}．

（3）由（2）知，A和B点的横坐标为：x₁、x₂，设点C的纵坐标为y_c，

把x=0代入解析式得，y_c=-1，

∵三角形ABC的面积等于2，∴

1/2]|x₁-x₂|•|y_c|=2，∴|x₁-x₂|=4，

∵x₁+x₂=[m−2/1−m]，x₁x₂=[1/1−m]，

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，即(

m−2

1−m)

点评：

本题考点： 二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题是有关二次函数与二次方程的关系，考查了一元二次方程根的分布问题，以及系数关系，韦达定理的应用：即x1-x2与x1+x2、x1x2之间的关系．