{a(n+1)+λan}为等比数列,那么设公比为q
这样有：a(n+1)+λa(n)=q*[a(n)+λa(n-1)]
即 a(n+1)=(q-λ)a(n)+qλa(n-1)
结合已知条件a(n+1)=an+6a(n-1)有：
q-λ=1;
qλ=6.
所以有解【q=3,λ=2】【q=-2,λ=-3】
也就是说,有两个结论都是成立的：
(1)a(n+1)+2a(n)=3*[a(n)+2a(n-1)]
(2)a(n+1)-3a(n)=(-2)*[a(n)-3a(n-1)]
对于结论(1),令b(n)=a(n+1)+2a(n),则 b(n)=3b(n-1),b(1)=a(2)+2a(1)=15;
所以得到通项b(n)=15*3^(n-1)= 5*3^n.
即a(n+1)+2a(n)=5*3^n.（1）
对于结论(2),令c(n)=a(n+1)-3a(n),同理可得
c(n)=(-2)c(n-1),c(1)=a(2)-3a(1)=-10; c(n)=(-10)*(-2)^(n-1)=5*(-2)^n
即)a(n+1)-3a(n)=5*(-2)^n （2）
（1）-（2）得到
5a(n)=5*[3^n - (-2)^n],
所以得到通项：【a(n) = 3^n - (-2)^n】
但是你的最后的问题我没有看懂.怎么无端出个k?
另外不等式是否为：1/a(λ) + 1/a(λ+1) < 4/3^(λ+1)?
可是λ的值是确定的值,所以不存在解不等式的问题.
所以我暂且按照问题为：【k=?时,1/a(k) + 1/a(k+1) < 4/3^(k+1)】来做.
由通项公式得到
不等式左侧=1/a(k)+1/a(k+1)
=1/[3^k-(-2)^k]+1/[3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
={[3^(k+1)-(-2)^(k+1)]+[3^k-(-2)^k]}/[3^k-(-2)^k][3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
={(3^k)*(3+1)-[(-2)^k]*(-2+1)}/[3^k-(-2)^k][3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
={4*(3^k)+[(-2)^k]}/[3^k-(-2)^k][3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
将分子与分母同时除以因子：3^(2k+1) 即 3^(k+1)*3^(k)
不等式等价于
=[4+(-2/3)^k]/[3^(k+1)][1-(-2/3)^k][1-(-2/3)^(k+1)]