Question

求函数f(x)＝ln(1+x)−14x2在[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解题思路：要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．

f′(x)＝

1

1+x−

1

2x，

令[1/1+x−

1

2x＝0，

化简为x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．

当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；

当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．

所以f(1)＝ln2−

1

4]为函数f（x）的极大值．

又因为f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），

所以f（0）=0为函数f（x）在[0，2]上的最小值，

f(1)＝ln2−

1

4为函数f（x）；

在[0，2]上的最大值．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．