解题思路:(1)由题设条件
f(1)=
5
2
知1=logax,可得x=a从而有
a+
a
−1
=
5
2
,由此方程解出a的值即可;
(2)首先解出函数f(x)的解析式,可利用换元法求解,令t=logax,得x=at,代入整理即可得到f(x)=ax+a-x,再由定义法证明它在[0,+∞)是增函数
(1)由题设条件得1=logax,x=a
得a+a−1=
5
2…(4分)
解得a=2或a=
1
2…(7分)
(2)令t=logax,得x=at,代入函数f(logax)=x+x-1整理得函数f(x)=ax+a-x
下由单调性定义证明
任取x1,x2,x1>x2≥0,f(x1)−f(x2)=ax1+
1
ax1−ax2−
1
ax2,
=
(ax1−ax2)(ax1•ax2−1)
ax1•ax2…(10分)
当a>1时x1>x2≥0,(ax1−ax2)>0,ax1•ax2>1
当0<a<1时x1>x2≥0,(ax1−ax2)<0,ax1•ax2<1
故f( x1)>f( x2),
所以f(x)在[0,+∞)是增函数.(14分)
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用.
考点点评: 本题考查函数与方程的综合运用,解对数方程,幂函数方程,定义法证明单调性,解题的关键是利用换元法求出f(x)的解析式及熟练掌握定义法的证明单调性,其步骤是,任取,作差,判号,得出结论,其中判号一步易忽略,是易错点,换元法是求外层函数解析式常用的技巧,其规律固定,要熟练掌握