已知函数f(logax)=x+x-1,(a>0,a≠1)

1个回答

  • 解题思路:(1)由题设条件

    f(1)=

    5

    2

    知1=logax,可得x=a从而有

    a+

    a

    −1

    5

    2

    ,由此方程解出a的值即可;

    (2)首先解出函数f(x)的解析式,可利用换元法求解,令t=logax,得x=at,代入整理即可得到f(x)=ax+a-x,再由定义法证明它在[0,+∞)是增函数

    (1)由题设条件得1=logax,x=a

    得a+a−1=

    5

    2…(4分)

    解得a=2或a=

    1

    2…(7分)

    (2)令t=logax,得x=at,代入函数f(logax)=x+x-1整理得函数f(x)=ax+a-x

    下由单调性定义证明

    任取x1,x2,x1>x2≥0,f(x1)−f(x2)=ax1+

    1

    ax1−ax2−

    1

    ax2,

    =

    (ax1−ax2)(ax1•ax2−1)

    ax1•ax2…(10分)

    当a>1时x1>x2≥0,(ax1−ax2)>0,ax1•ax2>1

    当0<a<1时x1>x2≥0,(ax1−ax2)<0,ax1•ax2<1

    故f( x1)>f( x2),

    所以f(x)在[0,+∞)是增函数.(14分)

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用.

    考点点评: 本题考查函数与方程的综合运用,解对数方程,幂函数方程,定义法证明单调性,解题的关键是利用换元法求出f(x)的解析式及熟练掌握定义法的证明单调性,其步骤是,任取,作差,判号,得出结论,其中判号一步易忽略,是易错点,换元法是求外层函数解析式常用的技巧,其规律固定,要熟练掌握