Question

函数f(x)＝cos4x−sin4x+2asin2(x2−π4)，x∈[π6，2π3]，a∈R

Answer 1

解题思路：（1）当a=-4时，利用三角函数公式可将f（x）化为：f（x）=-2（sinx-1）²-1，x∈[[π/6]，[2π/3]]，从而可求函数f（x）的最大值；

（2）由

g(x)＝sinx−

3

2

a

，且f（x）≤-ag（x）可得[3/2]a²-a≥cos2x，x∈[[π/6]，[2π/3]]恒成立，从而可求得实数a的取值范围．

（1）∵a=-4

∴f(x)＝cos4x−sin4x+2asin2(

x

2−

π

4)

=cos2x-4（1-cos（x-[π/2]））

=1-2sin²x+4sinx-4

=-2（sinx-1）²-1，

∵x∈[[π/6]，[2π/3]]，

∴[1/2]≤sinx≤1，当sinx=1时，f（x）取得最大值-1，

∴函数f（x）的最大值为-1；

（2）∵g(x)＝sinx−

3

2a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[

π

6，

2π

3]上恒成立，

∴-a（sinx-[3/2]a）≥f（x）=cos2x+a[1-sinx]在x∈[

π

6，

2π

3]上恒成立，

即[3/2]a²-a≥cos2x，x∈[[π/6]，[2π/3]]恒成立，

而x∈[[π/6]，[2π/3]]时，（cos2x）_max=cos[π/3]=[1/2]，

∴即[3/2]a²-a≥[1/2]，

∴a≥1或a≤-[1/3]．

实数a的取值范围为（-∞，-[1/3]]∪[1，+∞）．

点评：

本题考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值，难点在于（2）含参数的条件的转化与应用，突出考查三角函数公式的综合运用与恒成立问题，属于难题．