解题思路：（1）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=2，即可求出b；
（2）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值，最后利用根值点得出f（x）的图象与g（x）=x2的图象有且仅有三个公共点时，c的取值范围．．
（1）因f（x）=x3+ax2+bx+c，故f′（x）=3x2+2ax+b
从而y=f′（x）关于直线x=-
a
3对称，
从而由条件可知-
a
3=
1
3，解得a=-1
又由于f′（x）=2，即3+2a+b=2，解得b=1．
（2）由（1）知f（x）=x3-x2+x+c，
设F（x）=f（x）-g（x）=x3-2x2+x+c，
F′（x）=3x2-4x+1=（x-1）（3x-1）
令F′（x）=0得x=1或x=
1
3，列表：
从而f（x）在x=
1
3处取到极大值f（
1
3）=
4
27+c，在x=1处取到极小值f（1）=c．
若f（x）的图象与g（x）=x2的图象有且仅有三个公共点，
只须
4
27+c＞0
c＜0⇒−
4
27＜c＜0
∴c的取值范围：−
4
27＜c＜0．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．