解题思路：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得：a=2．c=1，根据a2=b2+c2求出b的值，即求出椭圆标准方程；
（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，设出点M的坐标，即求出|OM|的最大值与最小值．
（1）由题意得：
2a+2c＝6，
c
a＝
1
2，
解得，a=2．c=1，
故所求椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（2）由（1）结合椭圆的几何性质知：
|OM|的最大值为a，最小值b；
∴|OM|的最大值为2，最小值1．
点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；椭圆的定义；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出求|OM|的最大值与最小值，考查了分析问题和解决问题的能力．