Question

已知定义域为R的函数f(x)＝1−2x2x+1+a是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）由奇函数的定义得f（1）=-f（-1），代入解析式求出a的值；

（2）根据奇函数的定义将不等式化为：f（t²-2t）＜f（-2t²+k），再分离函数解析式，利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性，再列出关于x的不等式，由题意转化为：3t²-2t-k＞0恒成立，利用二次函数的性质列出等价不等式求解．

（1）由f（x）是奇函数得，f（1）=-f（-1），

即[1−2/4+a]=-

1−

1

2

1+a，解得a=2，

（2）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，

∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），

∵f（x）为奇函数，

∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k）

由（1）得，

f(x)＝

1−2x

2x+1+2＝

−(2x+1)+2

2(2x+1)＝−

1

2+

1

2x+1，

∴f（x）在定义域内为单调递减函数，

∴t²-2t＞-2t²+k，即3t²-2t-k＞0恒成立，

∴△=4+12k＜0，解得k＜−

1

3，

故k的取值范围是(−∞，−

1

3)．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，以及分离常数法，复合函数和指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，但难度不大．