Question

若函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意两个实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y

Answer 1

解题思路：（1）运用函数的奇偶性的定义，令x=y=1得到f（1）=0，令x=y=-1得到f（-1）=0，令y=-1则f（-x）=f（x），结论成立；

（2）运用增函数的定义证明，令0＜x₁＜x₂则

x

2

x

1

＞1，f（

x

2

x

1

）＞0，再由条件可得到f（x₂）＞f（x₁），

可得证；

（3）由a∈[1，4]，f（x）为增函数，求出f（a）的取值范围，再解0≤2^b-2≤2，即可得到b的取值范围．

（1）证明：∵定义域关于原点对称，

∴令x=y=1则f（1）=2f（1）

∴f（1）=0，

令x=y=-1则f（1）=2f（-1）

∴f（-1）=0，

令y=-1则f（-x）=f（x）+f（-1）

∴f（-x）=f（x）即y=f（x）为偶函数；

（2）证明：∵当x＞1时，f（x）＞0，

令0＜x₁＜x₂则

x2

x1＞1，

f（

x2

x1）＞0即f（x₂）+f（

1

x1）＞0，

即f（x₂）-f（x₁）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；

（3）由g（x）=2^x-2得g（b）=2^b-2，

又a∈[1，4]，f（x）为增函数，

∴f（1）最大即为0，f（4）最大即为2，

即0≤2^b-2≤2故1≤b≤2，

∴b的取值范围是[1，2]．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性及应用，注意定义的运用，以及考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．