Question

是否存在β∈(0,π/2),使得关于x的方程x方-4想xcosβ+2=0和x方-4xsinβ-2=0又一个实数解相对求出

Answer 1

解

假设存在这样的β,使得两个方程有相同的根m

∴m²-4mcosβ+2=0且

m²-4msinβ-2=0

∴cosβ=(m²+2)/(4m)

sinβ=(m²-2)/(4m).(这里,可以知道,m＞0且m²＞2)

上面两个式子,两边平方再相加,可得

1=[m⁴+4m²+4+m⁴-4m²+4]/(16m²)

整理可得：m²=4+2√3

m=1+√3

∴代入到上面式子里,可得：

sinβ=1/2,cosβ=(√3)/2

结合0＜β＜π/2可知：β=π/6