Question

n的阶乘除以n的n次方,在开n次根,极限是多少?

Answer 1

Xn=(n!/n^n)^(1/n)

两边取对数,

lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))

上式可看成 f(x)=lnx 在[0,1]上的一个积分和.即对[0,1]

区间作n等分,每个小区间长1/n.

因此当n趋于无穷时,lnXn等于f(x)=lnx在[0,1]上的定积分.

lnx在[0,1]上的定积分为-1

所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1.

由于 Xn=e^(lnXn),

于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.