第一种推论：
A、假设有1条病狗,病狗的主人会看到其他狗都没有病,那么就知道自己的狗有病,所以第一天晚上就会有枪响.因为没有枪响,说明病狗数大于1.
B、假设有2条病狗,病狗的主人会看到有1条病狗,因为第一天没有听到枪响,是病狗数大于1,所以病狗的主人会知道自己的狗是病狗,因而第二天会有枪响.既然第二天也每有枪响,说明病狗数大于2.
由此推理,如果第三天枪响,则有3条病狗.
第二种推论
1 如果为1,第一天那条狗必死,因为狗主人没看到病狗,但病狗存在.
2 若为2,令病狗主人为a,b. a看到一条病狗,b也看到一条病狗,但a看到b的病狗没死故知狗数不为1,而其他人没病狗,所以自己的狗必为病狗,故开枪；而b的想法与a一样,故也开枪.
由此,为2时,第一天看后2条狗必死.
3 若为3条,令狗主人为a,b,c. a第一天看到2条病狗,若a设自己的不是病狗,由推理2,第二天看时,那2条狗没死,故狗数肯定不是2,而其他人没病狗,所以自己的狗必为病狗,故开枪；而b和c的想法与a一样,故也开枪.
由此,为3时,第二天看后3条狗必死.
4 若为4条,令狗主人为a,b,c,d.a第一天看到3条病狗,若a设自己的不是病狗,由推理3,第三天看时,那3条狗没死,故狗数肯定不是3,而其他人没病狗,所以自己的狗必为病狗,故开枪；而b和c,d的想法与a一样,故也开枪.
由此,为4时,第三天看后4条狗必死.
5 余下即为递推了,由年n－1推出n.
答案：n为4.第四天看时,狗已死了,但是在第三天死的,故答案是3条.