(2009•红桥区二模)已知函数f(x)=4x2−72−x,g(x)=x3-3a2x-2a

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  • 解题思路:(Ⅰ)利用导数判断f(x)的单调性,由单调性可求得最小值,比较端点处函数值可得最大值;

    (Ⅱ)g′(x)=3x2-3a2,分情况讨论:当a=0时易判断;当a≠0时,g′(0)=-3a2<0,只需g′(1)≥0,解此不等式即可;

    (Ⅲ)问题等价于f(x)的值域为g(x)的值域的子集,利用导数可分别求得两函数的值域,根据集合包含关系可得不等式组,解出即可;

    (Ⅰ)f′(x)=

    −4x2+16x−7

    (2−x)2,

    令f′(x)>0,得[1/2<x<

    7

    2],所以f(x)在[[1/2],1]上单调递增;令f′(x)<0,得x<[1/2]或x>[7/2],

    所以f(x)在[0,[1/2]]上单调递减;

    所以f(x)min=f(

    1

    2)=-4,又f(0)=-[7/2],f(1)=-3,所以f(x)max=-3;

    (Ⅱ)g′(x)=3x2-3a2

    ①当a=0时,g′(x)=3x2,显然g′(x)在区间[0,1]上存在零点0;

    ②当a≠0时,g′(0)=-3a2<0,只需g′(1)≥0,即3-3a2≥0,解得-1≤a≤1,且a≠0;

    综上,实数a的取值范围为-1≤a≤1;

    (Ⅲ)g′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),

    令g′(x)=0,解得x=a或-a,

    当a≥1时,x∈[0,1],g′(x)≤0恒成立,所以g(x)在[0,1]上为减函数;

    所以g(x)∈[1-3a2-2a,-2a],

    由(Ⅰ)知f(x)∈[-4,-3],

    因为对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1]满足g(x0)=f(x1),

    所以

    1−3a2−2a≤−4

    −2a≥−3,解得1≤a≤

    3

    2,

    故实数a的取值范围为1≤a≤

    3

    2.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理.

    考点点评: 本题考查利用导数研究函数的最值、函数零点的判定定理,考查分类讨论思想转化思想,考查学生解决问题的能力.