Question

已知c＞0且c≠1，设p：指数函数y=（2c-1）x在R上为减函数，q：不等式x+（x-2c）2＞1的解集为R．若p∧q

Answer 1

解题思路：分别求出当p，q为真命题时的c的取值范围，然后由题意可得p和q有且只有一个正确，然后分两类由交集的运算可得答案．

当p正确时，

∵函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，∴0＜2c-1＜1

∴当p为正确时，[1/2＜c＜1；

当q正确时，

∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，

∴当x∈R时，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．

∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0

∴当q为正确时，c＞

5

8]．

由题设，p和q有且只有一个正确，则

（1）p正确q不正确，∴

1

2＜c＜1

0＜c≤

5

8∴[1/2＜c≤

5

8]

（2）q正确p不正确∴

0＜c≤

1

2，c＞1

c＞

5

8∴c＞1

∴综上所述，c的取值范围是（[1/2，

5

8]]∪（1，+∞）

点评：

本题考点： 复合命题的真假．

考点点评： 本题为变量取值范围的求解，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属基础题．