用柯西不等式证明:(1)设a.b.c∈R+.求证bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c (2)证明(x^2+4/y^2

1个回答

  • 第一问毋须柯西不等式,一看这种连乘对称的很容易想到基本不等式

    a,b,c∈R+

    由基本不等式x^2+y^2≥2xy

    (bc/2a)+(ac/2b)≥2√[(bc/2a)(ac/2b)]=2√(abc^2/4ab)=c

    (bc/2a)+(ab/2c)≥2√[(bc/2a)(ab/2c)]=2√(acb^2/4ac)=b

    (ac/2b)+(ab/2c)≥2√[(ac/2b)(ab/2c)]=2√(bca^2/4bc)=a

    三式相加即得:(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)≥a+b+c

    第二问倒是柯西不等式的典型应用

    解答如下:

    (x^2+4/y^2)(y^2+1/x^2)=(x^2+4/y^2)(1/x^2+y^2) 注:这是柯西不等式应用时很经典的变换!

    ≥(x*(1/x)+(2/y)*y)^2=(1+2)^2=9,得证.