二次函数定义 一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。二次函数的几种表达式 一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)， 顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式 y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和 B（x，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x，0）和 B（x，0）,我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤： X1+x2=-b/a x1·x2=c/a y=ax^2+bx+c =a（x^2+b/ax+c/a） =a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2. =a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 二次函数图像与X轴交点的情况 当=b^2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。 当=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。 当=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。 二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有 : 1. 本身图像，旁边注明函数。 2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a） 3. 与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)， 顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a). 轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。 a,b同号，对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴 a,b异号，对称轴在y轴右侧 顶点 二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。 h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。 开口 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 决定与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于（0,C） 注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。 与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k 当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下； 极值点：（-b/2a，(4ac-b2;)/4a）； Δ=b2-4ac, Δ>0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ=0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）； Δ<0，图象与x轴无交点； 特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。 y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 用）。 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。 增减性 当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反 当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反 两个关联函数图像 对称关系 对于一般式： y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称 y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称 y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称 y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。 对于顶点式： y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。 y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。 y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。 y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。 （其实就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况） 与一元二次方程的关系 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2(0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2(h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象 在向上或向下。
二次函数那部分我一点不懂！学霸们给我指点指点可好？？