Question

设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=[1/3]，且S1，2S2，3S3成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件得4S₂=S₁+3S₂，由此求出公比，从而能求出

a

n

＝

1

3

•(

1

3

)

n−1

=

1

3

n

．

（2）由b_n=

n

a

n

=n•3ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1/3]，

且S₁，2S₂，3S₃成等差数列，

∴4S₂=S₁+3S₂，

若q=1，则an＝a1＝

1

3，S1＝

1

3，S2＝

2

3，S3＝1，

∴4S₂=[8/3≠S1+3

S 3]=[10/3]，

∴q≠1，

4a1(1−q2)

1−q＝a1+

3a1(1−q3)

1−q，

∴4（1+q）=1+3（1+q+q²），

整理，得3q²-q=0，解得q=[1/3]，q=0（舍），

∴an＝

1

3•(

1

3)n−1=[1

3n．

（2）∵b_n=

n

an=n•3ⁿ，

∴Tn＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，①

3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②

①-②，得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹

=

3(1−3n)/1−3]-n•3ⁿ⁺¹，

∴Tn＝(

n

2−

1

4)•3n+1+

3

4．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．