Question

圆锥曲线已知点M（2/3,1）为椭圆x^2/4+y^2/3=1内一点,P为椭圆上一点,F2为右焦点,求2PF2+PM的最

Answer 1

由【第二定义】,椭圆上点P到焦点F2的距离与P到右准线（x=a^2/c,即得x=4)的距离d为一定值e(e恰好为离心率,这里e=1/2）所以PF2/d=1/2,所以2PF2=d,(2PF2+PM)min=(d+PM)min(设P到右准线垂足为Q,PQ=d).由共线知识可知,当M,P,Q三点共线时,存在最小值,所以（PQ+PM)min=MQ=4-2/3=10/3,此时P点纵坐标为1代入椭圆方程,得P（2√6/3,1） (我们的老师也没强调第二定义,我也是问同学才晓得哈,不过还是得掌握,多一把利器不更好吗?）