正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接

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  • 解题思路:(1)根据翻折的性质可得△ADE和△AFE全等,根据全等三角形的性质可得AD=AF,∠D=∠AFE=90°,然后求出AB=AF,再利用“HL”证明△ABG和△AFG全等;

    (2)设BG=x,根据全等三角形对应边相等可得BG=FG,然后求出DE、EF的长,再表示出CG、GE、CE,在Rt△GCE中,利用勾股定理列式求出x的值,再求出CG即可得证.

    证明:(1)∵△ADE沿AE对折至△AFE,

    ∴△ADE≌△AFE,

    ∴AD=AF,∠D=∠AFE=90°,

    又∵ABCD为正方形,

    ∴AD=AB,∠D=∠B=90°,

    ∴AB=AF,∠B=∠AFG=∠D=90°,

    在△ABG和△AFG中,

    AG=AG

    AB=AF,

    ∴△ABG≌△AFG(HL);

    (2)设BG=x,

    ∵正方形ABCD中,AB=6,

    ∴AB=BC=CD=6,

    ∴CG=6-x,

    又∵CD=3DE,

    ∴DE=2,CE=4,

    又∵△ADE≌△AFE,

    ∴EF=DE=2,

    又∵△ABG≌△AFG,

    ∴BG=GF=x,

    ∴EG=2+x,

    ∴在Rt△GCE中,GE2=GC2+EC2

    (2+x)2=(6-x)2+42

    ∴x=3,

    ∴BG=3,CG=3,

    ∴G为BC中点.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题).

    考点点评: 本题考查了正方形的性质,翻折变换的性质,全等三角形的判定,熟记翻折变换的性质得到相等的边和角是解题的关键,难点在于(2)利用勾股定理列出方程求出两段线段的数值相等.