Question

定义在R上的函数y=f（x）对任意x满足f（3-x）=f（x），（x-[3/2]）f′（x）＞0，若x1＜x2，且x1+

Answer 1

解题思路：根据（x-[3/2]）f′（x）＞0，确定函数的单调性，根据f（3-x）=f（x），可得f（x）关于x=[3/2]对称，进一步分类讨论x₁与在x₂的位置关系，即可得到f（x₁）＞f（x₂）．

∵（x-[3/2]）f′（x）＞0，

∴当x＞[3/2]时，f′（x）＞0，函数单调增，x＜[3/2]时，f′（x）＜0，函数单调减．

∵f（3-x）=f（x），∴f（x）关于x=[3/2]对称．

分2种情况讨论：

①x₁在对称轴x=[3/2]的右边或在对称轴上，

由x₁＜x₂，易得f（x₁）＜f（x₂）；

②x₁在对称轴x=[3/2]的左边，

由x₁+x₂＞3易得x₂＞[3/2]，

∴x₂在对称轴x=[3/2]的右边．

又x₂-[3/2]＞[3/2]-x₁，即|x₂-[3/2]|＞|[3/2]-x₁|，

∴f（x₁）＜f（x₂）

综合可得：f（x₁）＜f（x₂）

故选B．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的单调性，考查函数的对称性，正确运用函数的单调性与对称性是关键．