圆锥曲线的第二定义很重要!
到定点(焦点)的距离 / 到定直线(准线)的距离 = 定值(离心率e)
1）设B点到左焦点距离FB长度为x,AF=2x
那么,B到准线距离为 x / e ,A到准线距离为 2x/e
以线段AB作为斜边作直角三角形,A、B两点x坐标的距离就=AB长度的一半,因为AB倾斜60度.
那么有 2x/e - x/e = (x+2x) /2
求出e=2/3
2）
方法一：AB=2*(x1-x2)
联立椭圆方程和直线方程 y=根号3*(x+c)
由根与系数关系知道AB
再用1）的结果求出椭圆方程
方法二：思路也是想联立直线和椭圆方程.但这种方法计算量少,灵活
设A、B两点坐标(x1,y1)、(x2,y2)
由于在椭圆上,必定有x1^2/a^2 + y1^2/b^2=1和x2^2/a^2 + y2^2/b^2=1
两式想减并整理得,b^2/a^2 = -(y1-y2)/(x1-x2) * (y1+y2)/(x1+x2)
(y1-y2)/(x1-x2) 是斜率=根号3 ,b^2/a^2= 1-e^2=5/9
所以AB中点(x0,y0)满足,5/9 = -根号3 * y0/x0 - - - - - -(3)
由AB=15/4,AF=2FB,那么中点就是(-c+5/16 ,5/16根号3)
带入(3)有 5/9 = - 根号3 * (5/16*根号3)/(-c+5/16)
求出c=2
那么a=3,b^2=a^2-c^2 =5
椭圆方程为 x^2/9 + y^2/5=1