Question

设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n∈N + ，都有a 1 3 +a 2 3 +a 3 3 +…+a n 3 =

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a ₁ ³=S ₁ ²=a ₁ ²，

又∵a _n＞0，∴a ₁=1

当n≥2时，a ₁ ³+a ₂ ³++a _n ³=S _n ²①

a ₁ ³+a ₂ ³++a _n-1 ³=S _n-1 ²②

由①-②得，a _n ³=S _n ²-S _n-1 ²=（S _n-S _n-1）（S _n+S _n-1）=a _n（S _n+S _n-1）

∴a _n ²=S _n+S _n-1=2S _n-a _n（n≥2）

显然当n=1时，a ₁=1适合上式．

故a _n ²=2S _n-a _n（n∈N ^*）

（Ⅱ）由（I）得，a _n ²=2S _n-a _n③

a _n-1 ²=2S _n-1-a _n-1（n≥2）④

由③-④得，a _n ²-a _n-1 ²=2S _n-2S _n-1-a _n+a _n-1=a _n+a _n-1

∵a _n+a _n-1＞0∴a _n-a _n-1=1（n≥2）

故数列a _n是首项为1，公差为1的等差数列．

∴a _n=n（n∈N ^*）

（III）∵a _n=n（n∈N ^*），∴b _n=3 ⁿ+（-1） ^n-1λ•2 ⁿ

∴b _n+1-b _n=3 ⁿ⁺¹-3 ⁿ+（-1） ⁿλ•2 ⁿ⁺¹-（-1） ^n-1λ•2 ⁿ=2×3 ⁿ-3λ•（-1） ^n-1•2 ⁿ

要使b _n-1＞b _n恒成立，只须（-1） ^n-1λ＜ (

3

2 ) ^n-1

（1）当n为奇数时，即λ＜ (

3

2 ) n-1 恒成立，

又 (

3

2 ) n-1 的最小值为1，∴λ＜1

（2）当为偶数时，即λ＞ (

3

2 ) n-1 恒成立，

又- (

3

2 ) n-1 的最大值为-

3

2 ，

∴λ＞-

3

2 ，∴由（1）（2）得-

3

2 ＜λ＜1，

又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N ⁺，都有b _n+1＞b _n成立．