解题思路:(1)先证明四边形AFCE为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定;根据勾股定理即可求得AF的长;(2)①分情况讨论可知,当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可;②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式.
(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形,
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8-x)2=x2,
解得x=5,
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t,
∴5t=12-4t,
解得t=
4
3,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
4
3秒.
②由题意得,四边形APCQ是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12;
ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;
iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
点评:
本题考点: 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质.