(2011•福州)已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足

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  • 解题思路:(1)先证明四边形AFCE为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定;根据勾股定理即可求得AF的长;(2)①分情况讨论可知,当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可;②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式.

    (1)①∵四边形ABCD是矩形,

    ∴AD∥BC,

    ∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,

    ∵EF垂直平分AC,垂足为O,

    ∴OA=OC,

    ∴△AOE≌△COF,

    ∴OE=OF,

    ∴四边形AFCE为平行四边形,

    又∵EF⊥AC,

    ∴四边形AFCE为菱形,

    ②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,

    在Rt△ABF中,AB=4cm,

    由勾股定理得42+(8-x)2=x2

    解得x=5,

    ∴AF=5cm.

    (2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;

    同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.

    因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,

    ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,

    ∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,

    ∴PC=5t,QA=12-4t,

    ∴5t=12-4t,

    解得t=

    4

    3,

    ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=

    4

    3秒.

    ②由题意得,四边形APCQ是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.

    分三种情况:

    i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12;

    ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;

    iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.

    综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).

    点评:

    本题考点: 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质.