如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连 接BD、DC.

1个回答

  • (1)证明:∵AI平分∠BAC,

    ∴∠BAD=∠DAC,

    BD =

    DC ,

    ∴BD=DC.

    ∵BI平分∠ABC,

    ∴∠ABI=∠CBI.

    ∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,

    ∴∠BAD=∠DBC.

    又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,

    ∴∠DBI=∠DIB,

    ∴△BDI为等腰三角形,

    ∴BD=ID,

    ∴BD=DC=DI.

    (2)当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形,

    ∴圆心O在△ABC外.

    连接OB、OD、OC.

    ∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,

    ∴∠DBC=∠DCB=60°,

    ∴△BDC为正三角形.

    ∴OB是∠DBC的平分线,

    延长CO交BD于点E,则OE⊥BD,

    ∴BE=

    1

    2 BD,

    又∵OB=10,

    ∴BD=2OBcos30°=2×10×

    3

    2 =10

    3 .

    ∴CE=BD•sin60°=10

    3 ×

    3

    2 =15,

    ∴S △BDC=

    1

    2 BD•CE=

    1

    2 ×10

    3 ×15=75

    3 .

    答:△BDC的面积为75

    3 cm 2