(1)证明:∵AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴
BD =
DC ,
∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,
∴∠DBI=∠DIB,
∴△BDI为等腰三角形,
∴BD=ID,
∴BD=DC=DI.
(2)当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形,
∴圆心O在△ABC外.
连接OB、OD、OC.
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴△BDC为正三角形.
∴OB是∠DBC的平分线,
延长CO交BD于点E,则OE⊥BD,
∴BE=
1
2 BD,
又∵OB=10,
∴BD=2OBcos30°=2×10×
3
2 =10
3 .
∴CE=BD•sin60°=10
3 ×
3
2 =15,
∴S △BDC=
1
2 BD•CE=
1
2 ×10
3 ×15=75
3 .
答:△BDC的面积为75
3 cm 2.