Question

（2014•孝感）已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．

Answer 1

解题思路：（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；

（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；

（3）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．利用x₁，x₂表示出OA、OB的长，则根据根与系数的关系，以及OA+OB=2OA•OB-3即可列方程求解．

（1）由题意可知：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，

即-12k+5＞0

∴k＜

5

12．

（2）∵

x1+x2＝2k−3＜0

x1x2＝k2+1＞0，

∴x₁＜0，x₂＜0．

（3）依题意，不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．

∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-（x₁+x₂）=-（2k-3），

OA•OB=|-x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，

∵OA+OB=2OA•OB-3，

∴-（2k-3）=2（k²+1）-3，

解得k₁=1，k₂=-2．

∵k＜

5

12，

∴k=-2．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点，两交点的横坐标就是另y=0，得到的方程的两根，则满足一元二次方程的根与系数的关系．