nC0-1/2 nC1+1/3nC2-.+(-1)^n*1/(n+1)nCn=

1个回答

  • 下面用《nC0》表示从n个中取出0个的组合数,

    《nC1》表示从n个中取出1个的组合数,

    …………

    《nCk》表示从n个中取出k个的组合数.

    (1/k)* 《nC(k-1)》=(1/k)*[n!/((k-1)!*(n-k+1)!)]

    = n!/(k!*(n-k+1)!)

    =(1/(n+1))* [(n+1)!/(k!*(n-k+1)!)]

    =(1/(n+1))* 《(n+1) C k》.k=1,2,3……,(n+1).

    nC0-1/2 nC1+1/3nC2-.+(-1)^n*1/(n+1)nCn

    =(1/(n+1))* 《(n+1) C 0》-(1/(n+1))* 《(n+1) C 1》

    +(1/(n+1))* 《(n+1) C 2》-……+(-1)^n* (1/(n+1))* 《(n+1) C n》

    =(1/(n+1))*[ 《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》]

    ∵(1-1)^(n+1)= 《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》

    +(-1)^(n+1)*《(n+1) C (n+1)》,

    即0=《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》

    +(-1)^(n+1)*《(n+1) C (n+1)》,

    ∴《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》

    =-(-1)^(n+1)*《(n+1) C (n+1)》=(-1)^n.

    将结果代入上式可得:

    nC0-1/2 nC1+1/3nC2-.+(-1)^n*1/(n+1)nCn

    =(1/(n+1))* (-1)^n.