Question

已知函数f（x）在R+上可导，f（x）＞0，limx→+∞f(x)=1，且满足limh→0(f(x+hx)f(x))1h

Answer 1

解题思路：对1∞类的极限求法，先取对数，求对数的极限再求原极限．

设y=(

f(x+hx)

f(x))

1

h

两边取对数得

lny=

1

hln

f(x+hx)

f(x)

因为

lim

h→0lny=

lim

h→0

1

hln

f(x+hx)

f(x)

=

lim

h→0

x[lnf(x+hx)-lnf(x)]

hx

=x[lnf（x）]'

故

lim

h→0(

f(x+hx)

f(x))

1

h=ex[lnf(x)]′

由已知条件知ex[lnf(x)]′=e

1

x

因此x[lnf(x)]′=

1

x

即[lnf(x)]′=

1

x2

解得

f(x)=Ce-

1

x

又

lim

x→+∞f(x)=1得C=1

故 f(x)=e-

1

x

点评：

本题考点： 自变量趋于无穷大时函数的极限．

考点点评： 本题考查对1∞类的极限求法，以及函数导数的极限表示．要熟悉函数导数的极限形式，以及对1∞类的极限的固定求法．